CGBSE 2025 Set-C
निर्देश: प्रश्न क्रमांक 1 से 4 तक अति लघु उत्तरीय प्रश्न है। प्रत्येक पर 1 अंक निर्धारित है।
1.
यदि \( \vec{a}=4\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k} \) और \( \vec{b}=\hat{i}-2\hat{j} \) हो, तब \( 2\vec{b}\times \vec{a} \) का मान ज्ञात कीजिए।
If \( \vec{a}=4\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k} \) and \( \vec{b}=\hat{i}-2\hat{j} \), then find out value of \( 2\vec{b}\times \vec{a} \).
2.
\( \int \frac{\sin x}{1+ \cos x}dx \) का मान ज्ञात कीजिए।
Evaluate \( \int \frac{\sin x}{1+ \cos x}dx \).
3.
यदि \( \left [ \begin{matrix} a-b & 2a+c \\ 2a-b & 3c+d \\ \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} -1 & 5 \\ 0 & 13 \\ \end{matrix} \right ] \) हो, तब \( a+b \) का मान ज्ञात कीजिए।
If \( \left [ \begin{matrix} a-b & 2a+c \\ 2a-b & 3c+d \\ \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} -1 & 5 \\ 0 & 13 \\ \end{matrix} \right ] \), then find the value of \( a+b \).
4.
अवकल समीकरण \( \frac{d^{2}y}{dy^{2}}+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{4}}=0 \)
की कोटि एवं घात ज्ञात कीजिए।
Find the order and degree of differential equation
\( \frac{d^{2}y}{dy^{2}}+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{4}}=0 \).
निर्देश: प्रश्न क्रमांक 5 से 12 तक लघु उत्तरीय प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न पर 2 अंक निर्धारित हैं।
Instruction: Question Nos. 5 to 12 are short answer type question. Each carries 2 marks.
5.
यदि \( \tan^{-1}a + \tan^{-1}b + \tan^{-1}c =1 \) हो, तब सिद्ध कीजिए कि \( ab+bc+ca=1 \).
If \( \tan^{-1}a + \tan^{-1}b + \tan^{-1}c =1 \), then prove that \( ab+bc+ca=1 \).
6.
यदि \( y=\sqrt{\sin x+ \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + ....\infty }}} \) हो, तब सिद्ध कीजिए कि \( \frac{dy}{dx}=\frac{\cos x}{2y-1} \).
If \( y=\sqrt{\sin x+ \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + ....\infty }}} \), then prove that \( \frac{dy}{dx}=\frac{\cos x}{2y-1} \).
7.
\( x=1 \) पर फलन \( \left | x \right | \) के संतत की जाँच कीजिए।
Test the continuity of function \( \left | x \right | \) at \( x=1 \).
8.
अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx}=1-x+y-xy \) को हल कीजिए।
Solve the differential equation \( \frac{dy}{dx}=1-x+y-xy \).
9.
\( \int \frac{x^{2}\tan^{-1}x^{2}}{1+x^{6}}dx \) का मान ज्ञात कीजिए।
Evaluate: \( \int \frac{x^{2}\tan^{-1}x^{2}}{1+x^{6}}dx \).
10.
एक रेखा \( OP \) \( x \)-अक्ष से \( 120^{\circ} \) और \( y \)-अक्ष से \( 60^{\circ} \) का कोण बनाती है। रेखा द्वारा \( z \)-अक्ष पर बना कोण ज्ञात कीजिए।
A line \( OP \) makes the angle of \( 120^{\circ} \) and \( 60^{\circ} \) with \( x \)-axis and \( y \)-axis respectively. Find the angle made by line with \( z \)-axis.
11.
माना \( A \) तथा \( B \) ऐसी घटनाएँ हैं जहाँ \( P\left ( A \right )=\frac{1}{2} \), \( P\left ( A\cup B \right )=\frac{3}{5} \) और \( P\left ( B \right )=P \) है, तब का \( P \) मान ज्ञात कीजिए यदि घटनाएँ स्वतंत्र हैं।
Let \( A \) and \( B \) are the events such that \( P\left ( A \right )=\frac{1}{2} \), \( P\left ( A\cup B \right )=\frac{3}{5} \) and \( P\left ( B \right )=P \). Find the value of \( P \), if they are independent.
12.
यदि \( \left | \begin{matrix} x+3 & -2 \\ -3x & 2x \\ \end{matrix} \right | = 18 \) हो, तब \( x \) का मान ज्ञात कीजिए।
If \( \left | \begin{matrix} x+3 & -2 \\ -3x & 2x \\ \end{matrix} \right | = 18 \) find the value of \( x \).
निर्देश: प्रश्न क्रमांक 13 से 23 तक दीर्घ-उत्तरीय प्रश्न है। प्रश्न क्रमांक 14, 18 एवं 22 में आतंरिक विकल्प है। प्रत्येक प्रश्न पर 4 अंक निर्धारित है।
Instruction: Question Nos. 13 to 23 are long-answer type. Question Nos. 14, 18 and 22 have nternal coice. Each question carries 4 marks.
13.
उस समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण \( 3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k} \) और \( \hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k} \) हैं।
Find the area of a parallelogram whose digonals are \( 3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k} \) and \( \hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k} \).
14.
एक न्याय्य सिक्का और एक अभिनत पासे को उछाला गया। मान लें A घटना 'सिक्के पर चित प्रकट होता है' और B घटना 'पासे पर संख्या 3 प्रकट होती है' को निरूपित करते हैं। निरीक्षण कीजिए कि घटनाएं A और B स्वतंत्र हैं या नहीं।
A fair coin and an unbiased die are tossed. Let A represents the event head appears on the coin' and B represents the event 'number 3 appears on the die'. Check whether A and B are independent events or not.
15.
सिद्ध कीजिए कि \[ \tan ^{-1}\left ( \frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x} \right )=\frac{1}{2}\tan ^{-1}x \].
Prove that \[ \tan ^{-1}\left ( \frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x} \right )=\frac{1}{2}\tan ^{-1}x \].
अथवा
Or
हल कीजिए: \[ \tan^{-1}\left ( x-1 \right ) + \tan^{-1}\left ( x \right ) + \tan^{-1}\left ( x+1 \right )= \tan^{-1}3x \]
Solve: \[ \tan^{-1}\left ( x-1 \right ) + \tan^{-1}\left ( x \right ) + \tan^{-1}\left ( x+1 \right )= \tan^{-1}3x \]
16.
यदि \( y=e^{m \tan ^{-1}x} \), तब सिद्ध कीजिए कि: \[ \left ( 1+x^{2} \right )y_{2}+\left ( 2x-m \right ) y_{1} = 0 \].
If \( y=e^{m \tan ^{-1}x} \), then prove that: \[ \left ( 1+x^{2} \right )y_{2}+\left ( 2x-m \right ) y_{1} = 0 \]
17.
यदि \( \overrightarrow{a}=2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k} \), \( \overrightarrow{b}=-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k} \) और \( \overrightarrow{c}=2\hat{i}+\hat{j} \) इस प्रकार है कि
\( \overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \)पर लंब है, तो \( \lambda \) का मान ज्ञात कीजिए।
If \( \overrightarrow{a}=2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k} \), \( \overrightarrow{b}=-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k} \) and \( \overrightarrow{c}=2\hat{i}+\hat{j} \) are such that
\( \overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b} \) is perpendicular to \( \overrightarrow{c} \), then find the value of \( \lambda \).
18.
अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx}+y \cot x = 2x \cos x \) को हल कीजिए, दिए गया है कि \( y=0 \) जब \( x=\frac{\pi }{3} \)
Solve the differential equation \( \frac{dy}{dx}+y \cot x = 2x \cos x \) given that \( y=0 \) when \( x=\frac{\pi }{3} \)
19.
दो थैले A और B दिए हैं। थैले में 3 लाल और 4 काली गेंदें हैं। थैले B में 5 लाल और 6 काली गेंदें हैं। किसी एक थैले से यदृच्छया एक गेंद निकाली गयी है जो कि लाल रंग की है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि यह गेंद थैले B से निकाली गयी है ?
Two bags A and B are given. Bag A contains 3 red and 4 black balls while an other bag B contains 5 red and 6 black balls. One ball is drawn at random from one of the bags and it is found to be red.
Find the probability that it was drawn from bag B.
20.
वक्र \( x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=2 \) के बिन्दु \( \left ( 1, 1 \right ) \) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Find the equation of the tangent to the curve \( x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=2 \) at point \( \left ( 1, 1 \right ) \).
अथवा
Or
\( a \) का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अन्तराल \( \left ( 1, -2 \right ) \) में \( f\left ( x \right )=x^{2}+ax+1 \) से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
Find the least value of \( a \) such that the function \( f \), given by \( f\left ( x \right )=x^{2}+ax+1 \) is strictly increasing on onterval \( \left ( 1, -2 \right ) \).
21.
सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों के समुच्चय \( Z \) में \( R = \) { \( \left ( a,b \right ) \): संख्या 5 \( \left ( a-b \right ) \) को विभाजित करती है } में प्रदत्त सम्बन्ध \( R \) एक तुल्यता सम्बन्ध है।
Prove that the relation \( R \) in the set of integers \( Z \) given by \( R= \) { \( \left ( a,b \right ): \left ( a-b \right ) \) is divisible by 5 } is an equivalence relation.
अथवा
Or
यदि \( f:R\rightarrow R \) तथा \( g:R\rightarrow R \) फलन क्रमशः \( f\left ( x \right ) = \cos x \) तथा \( g\left ( x \right )=3x^{2} \) द्वारा परिभाषित है, तो \( gof \) और \( fog \) ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि \( gof \neq fog \)
If \( f:R\rightarrow R \) and \( g:R\rightarrow R \) are defined as \( f\left ( x \right ) = \cos x \) and \( g\left ( x \right )=3x^{2} \), then find \( gof \) and \( fog \).
Prove that \( gof \neq fog \).
22.
सिद्ध कीजिए कि \[ \left | \begin{matrix} a^{2} & bc & ac+c^{2} \\ a^{2}+ab & b^{2} & ac \\ ab & b^{2}+bc & c^{2} \\ \end{matrix}\right | = 4a^{2}b^{2}c^{2} \]
Prove that \[ \left | \begin{matrix} a^{2} & bc & ac+c^{2} \\ a^{2}+ab & b^{2} & ac \\ ab & b^{2}+bc & c^{2} \\ \end{matrix}\right | = 4a^{2}b^{2}c^{2}. \]
23.
\( \int \sin ^{-1}\left ( \frac{2x}{1+x^{2}} \right )dx \) का मान ज्ञात कीजिए।
Evaluate: \( \int \sin ^{-1}\left ( \frac{2x}{1+x^{2}} \right )dx \).
निर्देश: प्रश्न क्रमांक 24 से 29 तक दीर्घ उत्तरीय प्रश्न हैं। प्रश्न क्रमांक 24 एवं 28 में आंतरिक विकल्प हैं। प्रत्येक प्रश्न पर 6 अंक निर्धारित हैं।
Instruction: Question Nos. 24 to 29 are long answer type questions. Question Nos. 24 and 28 have internal choice. Each question carries 6 marks.
24.
यदि \( x^{y}=e^{y-x} \), तब सिद्ध कीजिए कि \[ \frac{dy}{dx}=\frac{2- \log_{e}x}{\left ( 1- \log_{e}x \right )^{2}} \]
If \( x^{y}=e^{y-x} \), then prove that \[ \frac{dy}{dx}=\frac{2- \log_{e}x}{\left ( 1- \log_{e}x \right )^{2}} \]
25.
सिद्ध कीजिए कि \[ \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\log_{e} \sin x = \frac{\pi }{2} \log_{e}\left ( \frac{1}{2} \right ) \].
Prove that \[ \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\log_{e} \sin x = \frac{\pi }{2} \log_{e}\left ( \frac{1}{2} \right ) \].
26.
परवलय \( y^{2}=4ax \) और \( y=mx \) सरल रेखा के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Find the area enclosed between parabola \( y^{2}=4ax \) and straight line \( y=mx \).
अथवा
Or
वक्रों \( y^{2}=4x \) और \( x^{2}=4y \) के बीच का क्षेत्रफल समाकलन विधि से ज्ञात कीजिए।
Find the area between the curves \( y^{2}=4x \) and \( x^{2}=4y \) by integration method.
27.
फलन \( P=2x+3y \) का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए, जबकि प्रतिबन्ध निम्न है: \[ x\geq 0, y\geq 0, x+2y\leq 10,2x+y< 14 \]
Find the maximum value of the function \( P=2x+3y \) when the contraints are following: \[ x\geq 0, y\geq 0, x+2y\leq 10,2x+y< 14 \]
28.
यदि \( A=\left [ \begin{matrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ \end{matrix} \right ] \) हो तो सत्यापित कीजिए कि \( A. adjA=\left | A \right | I \) और \( A^{-1} \) भी ज्ञात कीजिए।
If \( A=\left [ \begin{matrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ \end{matrix} \right ] \), then verify that \( A. adjA=\left | A \right | I \) and find \( A^{-1} \).
29.
समतलों \( \overrightarrow{r}.\left ( 2\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k} \right )=7 \) और \( \overrightarrow{r}.\left ( 2\hat{i}+5\hat{j}+3\hat{k} \right )=9 \) के प्रतिच्छेदन तथा बिन्दु \( \left ( 2,1,3 \right ) \) से जाने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
Find the vector equation of the plane passing through the intersection of the planes \( \overrightarrow{r}.\left ( 2\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k} \right )=7 \) and \( \overrightarrow{r}.\left ( 2\hat{i}+5\hat{j}+3\hat{k} \right )=9 \) and the point \( \left ( 2,1,3 \right ) \).
अथवा
Or
सरल रेखाओं \( \frac{x-3}{3}=\frac{y-8}{-1}=\frac{z-3}{1} \)और \( \frac{x+3}{-3}=\frac{y+7}{2}=\frac{z-6}{4} \) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
Find the shortest distance between the straight lines \( \frac{x-3}{3}=\frac{y-8}{-1}=\frac{z-3}{1} \) and \( \frac{x+3}{-3}=\frac{y+7}{2}=\frac{z-6}{4} \).